2.2.3 ベルヌーイの式（Bernoulli’s equation）

2.2.3 ベルヌーイの式（Bernoulli’s equation）

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図2.2.3.1に示すように、流線に沿って、微小流体要素を仮定してその部分の運動方程式を求めましょう。

図2.2.3.1 微小流体要素に作用する力

微小流体要素に作用する流線方向についての力は、

　　　（式2.2.3.1）

で表されます。

第3項は、流体要素の側面に作用する圧力による成分です。第4項は、流体要素の質量による成分です。

また、下記の関係が成り立ちますので、

式2.2.3.1にこれらの関係を代入して、さらに微小項を省略すると、次式のようになります。

　　　　　　　　（式2.2.3.2）

 

 

この力により、微小流体要素（質量：　　）が加速度　　を受けると考えると、　

ニュートンの第2法則から、式2.2.3.3 が成り立ちます。

　　　　（式2.2.3.3）

この式は、オイラーの運動方程式（Euler’s equation of motion）　と呼ばれるものです。

(a) 定常流れで非圧縮性流体の場合

　　　　　　　　（式2.2.3.4）

この式を、流線に沿って、s1からs2まで積分すると、　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　（式2.2.3.5）

この式を、ベルヌーイの式（Bernouulli’s equation）といいます。式の導出過程からもわかるように、
ベルヌーイの式が成立する条件は、次の3つです。

（１）非粘性（損失が無い）
（２）定常流れ
（３）非圧縮性流体

ベルヌーイの式は、エネルギー方程式になります。式2.2.3.5に、単位質量m=1を乗じると、エネルギーの式になります。

　　　　　　　　　　（式2.2.3.6）

ここで、
V2/2：単位質量の運動エネルギー　（M2L2T-2）
gz　：単位質量の位置エネルギー　（M2L2T-2）
p/ρ　：単位質量の圧力をpまで高めるのに要するエネルギー　（M2L2T-2）

これを水頭（L）で表すと、

　　　　　　（式2.2.3.7）

水頭は、単位重量当たりのエネルギーを表します。油圧よりも、ターボ機械の分野でよく使われます。

ここで、
V2/2g　：　速度水頭（velocity head）
p/γ　　　：　圧力水頭（pressure head）
z　　　　：　位置水頭（potential head）
H　　　　：　全水頭（total head）

図2.2.3.2に水頭で表した流れのエネルギーについて説明しています。

図2.2.3.2　管路内の水頭

（管路が水平）の場合には、ベルヌーイの式は、次式で表されます。この場合は単位体積当たりのエネルギーを表しています。

　　　　　　　　　　　（式2.2.3.8）

ここで、
ρV2　：　動圧（dynamic pressure）
p　　　：　静圧（static pressure）
P　　：　全圧（total pressure）

また、V=0となる点は、よどみ点（stagnation point）といいます。また、この点の圧力をよどみ点圧力（stagnation pressure）といいます。

(b) 定常流で圧縮性流体の場合

式2.2.3.4 を流線に沿って、s1からs2まで積分すると、　

　　　　　（式2.2.3.9）

が示されます。

この式で、圧縮性流体は、通常は密度が低い気体なので、位置のエネルギーを示す、2項は無視できます。また、状態の変化が、ほとんどの気体に適用されるポリトロープ変化の場合、

　　　　（式2.2.3.10）

になるので、

　　　　（式2.2.3.11）

または、次式が成立します。

　　　　（式2.2.3.12）

 

 

 

 

参考文献
流体機械工学演習　　前田照行　　学献社

引用図表
［図2.2.3.1］　微小流体要素に作用する力 流体機械工学演習
［図2.5.3.2］　管路内の水頭　　　　　　流体機械工学演習

 

ORG: 2018/2/25