1.22 慣性モーメント

1.22 慣性モーメント（Moment of Inertia）

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1．慣性モーメントの定義

質量\( m \)（kg）の物体が回転軸から\( r \) (m) の距離で、回転数\( n \)（s-1）で回転しているとすると、物体の速度は、

\( v = 2 \pi r n \)　　 (m/s2) 　　

であり、この物体が持つ回転による運動エネルギ\( A \) は、

\( A = \displaystyle\frac{ 1} { 2 } \cdot m(2 \pi r n)^2 = \displaystyle\frac{ 1 }{ 2 } \cdot m r^2 (2 \pi n)^2 \)

\(　= \displaystyle\frac{ 1 }{ 2 } \cdot mr^2 \omega^2 \) 　　\( ( J ) \)　　（式1.22.1）

 

ここで、

\( \omega = 2 \pi n \) 　（rad/s）；角速度

 

式1.22.1 で\( m r^2 \) は、回転数によらない定数になります。従って、

 

\( J = mr^2 \)  　　（式1.22.2）

 

を回転軸に対する回転モーメントと定義します。慣性モーメントを表す記号は、昔は、\( I \) を用いていましたが、電流\( I \) と紛らわしいことから、現在では\( J \) を用いています。慣性モーメントの単位は（kg-m2）になります。

回転の運動エネルギーは、

\( A = \displaystyle\frac{ 1 }{ 2 } \cdot J \omega ^2 \)     \( (J) \)

で表すことができます。

 

2． 極慣性モーメントと回転半径

質量\( M \)（kg）の物体の微小部分\( dM \) と、特定の\( O \) との距離を\( r \) とするとき、\( r^2 \) と\( dM \) との積を物体\( M \) の全部分について積分したものを、点Ｏの関する極慣性モーメント（polor moment of inertia）\( J_{ O } \) と定義します。

\( J_{ O } = \displaystyle\int r^2 dM \)  　　（式1.22.3）

また、ここで微小部分\( dM \) と特定の軸Aとの距離を\( a \) とすると

 \( J_{ A } = \displaystyle\int a^2 dM \)   　（式1.22.4）

により得られる\( J_{ A } \) を、物体の軸Aに関する慣性モーメントといいます。

物体の全質量を\( M \) としたときに、軸から\( k \) の距離に全質量\( M \) が集中していると考えると式が得られます。

\( J = k^2 M \)

∴ 　\( k = \displaystyle\sqrt \frac{ J }{ M } \)  　　（式1.22.5）

 

で定義される\( k \) を回転半径（radius of gyration）といいます。

 

3． 回転軸が重心を通らない場合の慣性モーメント：平行軸の定理（Steiner の定理）

質量\( M \) （kg）の物体について、回転軸が重心を通る場合の慣性モーメント\( J_{ G } \) がわかっている場合、重心から外れた平行軸についての慣性モーメント\( J_{ P } \) は、平行軸の定理から求めることができます。  

\( J_{ P } = J_{ G } + Mh^2 \)　　（式1.22.6）

ここで

\( J_{ G }\)：重心を通る軸周りの物体の慣性モーメント

\( h \)：2つの平行軸間の距離（m）

 

4． はずみ車効果

ポンプなどの起動時のトルクを計算するなどするときに、慣性モーメントが用いられますが、昔は重量単位系のGD2がよく使われていました。GD2の単位は（kgf-m2）です。

慣性モーメントJとの換算は、次式によります。

\( J = GD^2/4g \)

の関係があります。ここで、\( g \)：重力加速度です。

 

5． いろいろな形状の慣性モーメント

表1.22.1 に回転体の慣性モーメントの例を示します。

表1.22.1 回転体の慣性モーメント

 

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参考文献
A Textbook of Machine Design  R.S. Khurmi et al.   EURASIA PUBLISHING HOUSE (PVT.) LTD.　2005
機械設計_イナーシャをどう設計するか　　1980年9月号　　日刊工業新聞社

 

引用図表
表1.22.1 回転体の慣性モーメント　　　参考：住友重機械工業(株)様HP

 

 

ORG：2021/05/20