2.2 音波の波動方程式

2.2 音波の波動方程式

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空気中を伝達する音波の状態を示す波動方程式を求めます。

1. 1軸の平面波について

221_daum_equation_1436092857741      2.2.1

 

なる波を考えます。

daum_equation_1436092950891

 とおくと、

daum_equation_1436093163060

になります。

 

式2.2.1の両辺をxで微分すると、

222_daum_equation_1436093631605        2.2.2

 

更に、xで微分すると、

223_daum_equation_1436097181452         2.2.3
式2.2.1の両辺をtで微分すると、

224_daum_equation_1436104803490         2.2.4

更に、tで微分すると、

225_daum_equation_1436105077389        2.2.5

 

226_daum_equation_1436105173787      2.2.6

これが、平面波の場合の波動方程式になります。

2. 一般的な表現

空間では、音波はx,y,zのそれぞれの方向に波が存在すると考えてよいから、
波の状態は、

227_daum_equation_1436105468758     2.2.7

と、一般的にあらわされます。

1軸の場合と同じように計算すると、

228_daum_equation_1436105720261      2.2.8

 

となります。

これが、波動方程式の一般形です。

ここで、

 

daum_equation_1436197220727

c:空気中の音速
k:体積弾性率
ρ:空気の密度