A4.1 比速度

A4.1 比速度(specific speed)

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1. 比速度とは

比速度は、ポンプ屋、特にターボポンプを生業としている者にとって、非常に重要な概念です。設計者はどんなポンプを作ろうかと考えるときに、営業は自社の製品から最適なポンプを選定するときに、まず比速度を計算します。

 

1.1 比速度の定義

ターボ形式の流体要素は、遠心式および、斜流式、軸流式に大別されます。これらの羽根車を、流れの方向に注目して並べてみると、一定の傾向を持って連続的に変化しているように見えます(図A4.1.1)。これらのターボ形羽根車は、流体の種類による翼の形状など細かな差異を無視すると、これらの羽根車列のどこかに当てはまります。

図A4.1.1 ターボ形羽根車形状の系統的な変化

図A4.1.1を眺めると、寸法を除いたターボ形羽根車のおおよその形状を決めるパラメータがあるように推定されます。このパラメータとして、最も一般的に用いられているのが比速度(specific speed) という概念です。

比速度nsは、ターボ形流体要素の最小単位である、単段に対して定義されます、両吸込遠心羽根車の場合は片側だけに着目して比速度を求めます。

図A4.1.2 比速度の定義

図A4.1.2 にターボ形羽根車の単位流体要素を示します。吸込体積流量を\(Q\)、揚程を\(H\)、回転速度を\(n\)とすると、比速度\(N_{s}\)は次の式で定義されます。

\( Ns=N\frac{\sqrt{Q}}{H^\frac{3}{4}} \)    (A4.1.1)

 

1.2 無次元比速度,形式数(ISO)

1.1項で定義した比速度は有次元であるが、SI国際単系を用いた無次元比速度として次式が定義されます。

\( n_{s}=N\frac{\sqrt{Q}}{(gH)^\frac{3}{4}} \)    (A4.1.2)

 

また、ISO規格では、比エネルギーΔE (=gH)を用いて、形式数(type number)Kを定義しています。

\( K=2\pi N\frac { \sqrt { Q } }{ { \Delta E }^{ \frac { 3 }{ 4 } } }  \)  (A4.1.3)

なお、1.1で定義された有次元の比速度は、その単位を定義通り示すと、

\(\frac {1}{60} m^{3/4} s^{-3/2}\) ポンプの場合   (A4.1.4)

 

実用上は、単位系を表記しません。また、海外の文献を読む際には、フィート・ポンド系を用いる場合もあり注意が必要です。
表A4.1.3 に、無次元比速度を含めた各種単位系の比速度間の換算表を示します。

表A4.1.3 比速度の換算表

 

管理人が大学院生の頃くらいから、機械工学の分野でもSI単位に切り替えなければという動きが出てきましたが、教科書もまだまだ重量単位系を基本にしており、その頃は無次元比速度になると「色々見直しが大変」と思っていたと記憶しています。

でも、久しぶりにWikipediaを覗いてみると、どうもまだ管理人が慣れ親しんだ\(N_{s}\)(m,, m3/min, rpm単位)が使われているようでした。少し安心しました。実務に近い部分の体系を変更するのは結構大変なんだろうなと思いました。(あまり、大した感想になっていません。すみません。)

定義からわかるように、比速度の概念はターボ形流体要素のみでなく、容積形流体要素でも適用できます。ただ、容積形流体要素の比速度は羽根車のような流体要素の形状を決めるパラメータにはなりません。

 

2 比速度と羽根車形式

2.1 比速度によるターボ形流体要素の形状の決定

比速度で、ターボ形流体要素の羽根車形状が系統的に変化することがわかりました。ここでは、比速度によってターボ形流体要素の形状がどのように変化するかを、遠心式と軸流式との場合についてみていきます。(本当は、斜流式について考えなければならないのですが、そこまで突き詰めて考える能力が無いので、参考資料の受売りを書いていくことになります。)

2.1.1 遠心式

本コンテンツは非圧縮液体について考えるので、遠心羽根車の入口・出口での流れを考えると、取扱液の比重量は変化しないので、流量は次式で表されます。

\(Q=2\pi { r }_{ 2 }{ b }_{ 2 }{ v }_{ m2 }=\pi { d }_{ 2 }{ b }_{ 2 }{ u }_{ 2 }\phi ={ \pi }^{ 2 }{ { d }_{ 2 } }^{ 2 }{ b }_{ 2 }n\phi \) (A4.1.5)

予旋回が無い場合の全揚程は

\( g\Delta H_{st}=\eta u_{2} v_{\theta 2} = \eta u_{2} v_{m2} \cot { \alpha_{2}} \)
  \(=\eta {u_{2}}^2 \phi \cot { \alpha_{2}} \)
  \(=\eta \pi^2 d_{2}^2 n^2 \phi \cot { \alpha_{2}} \)      (A4.1.6)

ここで
\(Q\):体積流量
\(\Delta H_{st}\):全揚程上昇
\(n\):回転速度
\(r\):羽根車の任意位置の半径
\(d\):羽根車の任意位置の直径
\(u\):羽根車の任意位置の周速度
\(v_{m}\):羽根車の任意位置の子午面分速度
\(v_{θ}\):羽根車の任意位置の周分速度
\(b\):羽根車の任意位置の羽根車通路部の幅
\(\gamma\):羽根車の任意位置の比重量
\(\gamma_{1}\):羽根車入口角
\(\beta_{1}\):羽根車入口の相対流入角
\(\gamma_{2}\):羽根車出口角
\(\beta_{2}\):羽根車出口の相対流出角
\(\alpha_{1}\):羽根車入口の絶対流入角
\(\alpha_{2}\):羽根車出口の絶対流出角
\(\phi\):流量係数(\(\phi=\frac{v_{m2}}{u_{2}}\))
\(g\):重力加速度
\(\eta\):効率

添字
1:羽根車入口
2:羽根車出口

 

図A4.1.4  遠心式ターボ形流体要素の速度三角形

 

これより、無次元比速度は

\(n_{s}=\frac{n \sqrt Q}{(g\Delta H_{st})^{3/4}} \)

 \( =\frac{1}{\sqrt [4]{\pi^2\phi\eta^3\cot{}^{3} \alpha_{2}}} \sqrt {\frac{b_{2}}{d_{2}}} \) (A4.1.7)

 

式(A4.1.7)からわかることは

(1) 絶対寸法が異なる相似な遠心羽根車が、同一作動点(流量係数\(\phi\)が等しい点)で作動するときに、効率\(\eta\)、絶対流出角\(\alpha_{2}\)、出口幅比\(b_{2}/d_{2}\) が等しいから、両者の無次元比速度\(n_{s}\)は一致。

(2) 流量係数\(\phi\)、絶対流出角\(\alpha_{2}\)などの設計パラメータは、最適値がほぼ定まっており、羽根車によってあまり差異がありません。また、効率\(\eta\)についても羽根車による差異が比較的小さいです。したがって、無次元速度\(n_{s}\)が等しい羽根車では、出口幅比\(b_{2}/d_{2}\) がほぼ等しい値となり、外見上おおよそ相似になります。

このように、比速度は遠心羽根車の形状を示すパラメータになります。

図A4.1.5 遠心式羽根車の比速度と羽根車形状との関係

図A4.1.6は遠心羽根車の色々な形状について対応する比速度との対応を示しています。
比速度が小さくなるにつれて、流路幅が狭くなります。流路を形成する羽根車両側のシュラウドと流体との摩擦による損失が増大して効率が低下します。一方、比速度が大きくなると流路幅が増大してシュラウドとの摩擦が相対的に減ることにより摩擦による効率の低下は減少しますが、ある限界を超えると出口面積が過大になり、羽根車形状としては不適当なものとなり、効率はおよび低下します。比速度には最適な範囲があります。
遠心羽根車の効率は、比速度によっておおよその値が定まります。

遠心羽根車の比速度の実用範囲は、\(N_{s}\)=80~1500になりますが、効率を考えると\(N_{s}\)=150~600が実用上使える版になります。最高効率を得る範囲はおおよそ\(N_{s}\)=300~400です。管理者はターボポンプの設計を10年ほど仕事にしておりましたが、遠心式については\(N_{s}\)=250以下が多かった記憶があります。なぜかと言われるとあまり記憶がありませんが、プロセスポンプ専業メーカに勤めていたからのように思います、うまく説明できませんが。

図A4.1.6 遠心式羽根車形状と比速度

 

2.1.2 軸流式

軸流式の場合、動翼について考えます。

流量は

\(Q=\pi r_{t}^2 (1-\nu^2) v_{a}=\pi^2d_{t}^3(1-\nu^2)n\phi_{st}/4 \)  (A4.1.8)

翼車の根元における全揚程は

\( g\Delta H_{st}=\eta u_{h} (v_{\theta 2}-v_{\theta 1})_{h}\)
  \(=\eta u_{h} W_{\infty h}(C_{L}\sigma)_{h}/2\)
  \(=\eta \pi^2 d_{t}^2 n^2 \nu^2 R_{h}(C_{L}\sigma)_{h}/2 \sin \beta_{\infty h} \)      (A4.1.9)

ここで
\(Q\):体積流量
\(\Delta H_{st}\):全揚程上昇
\(n\):回転速度
\(r\):翼車の任意位置の半径
\(d\):翼車の任意位置の直径
\(u\):翼車の任意位置の周速度
\(v_{a}\):翼車の任意位置の軸分速度
\(v_{ \theta }\):翼車の任意位置の周分速度
\(W_{ \infty }\);流れのベクトル平均相対速度
\(C_{L}\sigma)_{h}\):揚力係数CLとソリディティσとの積
\( \sigma \):(\( \sigma = l/s)\)スペーシング;翼弦長lと翼と翼との間隔の比
\( \nu \):(\( \nu = d_{h} / d_{t} \))ハブ比
\( \beta _{ \infty h} \):翼車根元のベクトル平均角度
\( \phi_{st}\):代表流量係数(\( \phi = \bar{ v_{a}}/u_{t})\) 
\(R_{h}\):翼車根元の反動度
\( g \):重力加速度
\( \eta \):効率

添字
t:翼車先端
h:翼車根元
1:翼車入口
2:翼車出口

 

図A4.1.7  軸流式ターボ形流体要素の速度三角形

これより、無次元比速度は

\( n_{s} = \frac {n \sqrt Q}{(g \Delta H_{st})^{3/4}} \)

\( = \sqrt[4]{ \frac {{ \phi_{st}}^2 \sin{}^{3} \beta_{ \infty h}}{2 \pi^2 \eta^3 {R_{h}}^3}} \sqrt{ \frac {1-\nu^2}{\nu^3}}\frac{1}{{(C_{L}\sigma)_{h}}^{3/4}}\)   (A4.1.10)

ここで、効率\(\eta\)、代表流量係数\(\phi_{st}\)、翼車根元の反動度\(R_{h}\)、ベクトル平均角度\(\beta_{\infty h}\)は、設計方針が同一であれば大きな変化はないと考えられます。(管理者は軸流ポンプの設計が比較的多かったので、同意します。)これらをほぼ一定として取り扱うと、次式のように無次元比速度はハブ比\(\nu\)と\((C_{L} \sigma)_{h}\)とに比例します。
\( n_{s} \propto \sqrt{ \frac {1-\nu^2}{\nu^3}}\frac{1}{{(C_{L}\sigma)_{h}}^{3/4}}  \) (A4.1.11)

設計上、負荷は翼車根元で最大となるので、\(C_{L} \sigma\)は翼列性能上許容限度いっぱいに設定され、おおよそ\(C_{L} \sigma=1.2~1.5\)になります。この場合の無次元比速度\(n_{s}\)はボス比\(\nu\)だけの関数となります。図A4.1.8に軸流羽根車の形状と比速度との関係を示しますが、この図で①がボス比と比速度との関係を示します。

図A4.1.8  軸流羽根車の形状と比速度

比速度が小さくなるに従い、ボス比は大きくなります。ボス比が大きくなりすぎると流路の高さが減少して摩擦損失が増大する結果、効率が急速に低下します。このように軸流式流体要素の場合は実用上比速度の最低値があります\((n_{s})_{min}\)。
比速度を増加させると、ボス比は次第に減少します。ボス比の最低値の限界は\(\nu=0.4~0.5\)で、これ以下にボス比を小さくすることはできないので、比速度を高くするのはボス比を一定に保って\((C_{L} \sigma)_{h}\)の値を減少させます。この場合、\(C_{L}\)は一定に保ち\(\sigma\)つまり翼の数を減少させます。翼の枚数は2枚が最小値ですので、これより比速度\(n_{s}\)が大きくなると、揚力係数\(C_{L}\)を減らす必要があります。この段階で効率低下が起こります。
軸流式流体要素では、比速度の上限は存在しません。比速度の下限\((N_{s})_{min}\)は600程度といわれています。効率上有利な範囲は、\((N_{s})_{opt}=800~5000\)といわれています。管理者が設計した範囲はもっと狭く1200~1800程度だった記憶があります。

 

2.2 比速度と最適羽根車形式

ターボ形流体要素としては、遠心式と軸流式との中間に斜流式があります。斜流式は設計の自由度が比較的大きく遠心式からのアプローチも軸流式からのアプローチも可能と考えます。管理者は、おおよそ10年くらいのターボポンプの設計経験の中で、十例前後しか設計していませんが、基本的には遠心式の延長で設計していたように記憶しています。管理者にとっては、一番設計が難しかった記憶があります。

図A4.1.9 に比速度と最適流体要素との対応を示します。\(N_{s}\)が80以下になると、ターボポンプの効率が急激に低下するので、この部分については容積形流体要素の方がターボ形流体要素より優位になります。

図A4.1.9  比速度と最適流体要素との対応

 

 

2.3 比速度による最適流体機械形式の選定

比速度は流体機械の1段当たりの全揚程に基づいて考えますが、これを1台の流体機械として考えて、機械全体としての比速度(形式的比速度)を求めると、

\( (Ns)_{ t } \equiv  n\frac{\sqrt {Q}}{(gH)^{3/4}} \) または \(n\frac{\sqrt {Q}}{H^{3/4}} \)   (A4.1.12)

ここで、
\((N_{s})_{t}\):形式的比速度
\(Q\):吸込み体積流量
\(H\):\((H=\Delta H_{st})\) 全揚程上昇
\(n\):回転速度

多段ポンプの場合段数を\(Z\)とすると、

\(H= \Delta H_{st}/Z \)        (A41.1.13)

となり、形式的比速度と単段の比速度\(N_{s}\)との関係は次式で表されます。

\(N_{s} = Z^{3/4} (N_{s})_{t} \)      (A41.1.14)  

したがって、単段の場合容積式流体要素が選定される場合でも段数を増加させると軸流式流体要素も選択できます。機械全体の比速度(形式的比速度)に対して、段数によりどのような形式が適用可能かを、図A4.1.10に示します。一方、両吸込みポンプの場合は機械全体の流量は羽根車流量の2倍になりますので

\(Ns=\frac{(Ns)_{ t }}{\sqrt{2}}\)         (A41.1.15)  

の関係があります。

図A4.1.10  形式比速度による最適流体要素の選定

図A4.1.10からわかるように、形式比速度\((N_{s})_{t} \)が最適な流体要素の形式は色々選択できます。ただし、実際にターボポンプの形式を決める際には、比速度のみならず以下に示す要因を考慮します。

(1)回転速度:回転速度を高めて\(N_{s}\)を大きくした方が軽量・小型化ができ、製作費用も低減出来ます。一方、軸受や軸封装置の寿命、騒音・振動への影響からは低回転速度が望ましいです。また、取扱流体が液体の場合、後述するキャビテーション現象への考慮からも回転速度は低い方が望ましいです。ただし、電動機により直結運転する場合は、電動機の極数で回転速度(回転数)が決まってしまいます。

(2)段数:羽根車が単段であれば、構造が単純で製造費用が安価になります。

(3)部分負荷特性:設計点以外の性能変化は形式により異なります。使用条件に最も適合する形式を選定する必要があります。

(4)キャビテーション:ターボポンプのような液体を扱うポンプでは、回転速度が速くなるとキャビテーションが発生しやすくなります。

(5)レイノルズ数:\(Re\)数が臨海\(Re\)数以下になると、効率が急激に低下します。

(6)運転/保守管理:大容量ポンプでは運転時のランニングコストを考慮する必要があります。また保守(メンテナンス)の容易さは運転員の負荷に大きく影響します。

 

2.4 比速度と特性曲線の形状

比速度が異なるポンプの特性曲線を比較するためには、それぞれの形式での最高効率点を基準に比較するのが便利です。

つまり、

\(q=\frac{Q}{Q_{ n }} ,  h=\frac{H}{H_{ n }} ,  p=\frac{P}{P_{ n }} \)   (A41.1.16) 

ここで、添字nは、最高効率点での特性値を示します。

図A4.1.11、A4.1.12、図A4.1.13には、吐出量で正規化した揚程、軸動力、効率についての特性曲線を示します。図A4.1.11(揚程-吐出量曲線)では、曲線1、2のように比速度が小さいポンプでは、低流量側で、吐出量が増加するほど揚程が増加する右上がり揚程曲線になります。右上がり揚程曲線になるポンプは、締め切り点より高い揚程では配管系の条件によっては流れが不安定になり振動等の不具合を発生させます。また、特に複数台のポンプを並列運転する場合に不具合を起こしやすくなります。配管系(pipeline)に組み込まれるプロセスポンプでは使用を避けます。低比速度ポンプで右上がり特性を回避するためには効率が犠牲になりますが、羽根車の出口角度を小さくすることが有効です。

曲線3のように、低吐出量での揚程がほぼ一定の値を示すもの、しばしば平坦揚程曲線と呼ばれます。曲線4~7については、吐出量の増加につれて揚程が減少します。これらの曲線は右下がり揚程曲線もしくは安定揚程曲線と呼ばれます。

揚程-吐出量曲線の傾向は、基本的には比速度に依存します。しかし、先に低比速度ポンプの例を述べましたが、出口角度や羽根枚数、流量係数を適宜選定することにより、特性曲誠はある程度調整が可能です。比速度の大きいポンプの軸動力は、締切点で最大となり吐出量の増加とともに軸動力は低減します。このように比速度の大きいポンプについては、駆動用電動機の定格出力を、定格吐出量における所要動力より大きな容量のものが要求されます。

図A4.1.11  揚程-吐出量曲線

図A4.1.12  軸動力-吐出量曲線

図A4.1.13 効率-吐出量曲線 

 

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参考文献
流体機械  大橋秀雄  森北出版
流体機械  大場利三郎/神山新一   丸善
機械工学便覧 第6版 ɤ02-1-03章  日本機械学会
Centrifugal and Axial Flow Pump 2nd ed.  Stepanoff
模型実験の理論と応用 江守一郎  技報堂出版

 

引用図表
図A4.1.1 ターボ形羽根車形状の系統的な変化   機械工学便覧 第6版
図A4.1.2 比速度の定義   ORG
表A4.1.3 比速度の換算表   ORG
図A4.1.4  遠心式ターボ形流体要素の速度三角形   流体機械 大橋秀雄
図A4.1.5 遠心式羽根車の比速度と羽根車形状との関係   参考:模型実験の理論と応用 江守一郎
図A4.1.6 遠心式羽根車形状と比速度   流体機械 大橋秀雄
図A4.1.7  軸流式ターボ形流体要素の速度三角形   流体機械 大橋秀雄
図A4.1.8  軸流羽根車の形状と比速度   流体機械 大橋秀雄
図A4.1.9  比速度と最適流体要素との対応   流体機械 大橋秀雄
図A4.1.10  形式比速度による最適流体要素の選定   流体機械 大橋秀雄
図A4.1.11  揚程-吐出量曲線   Centrifugal and Axial Flow Pump 2nd ed. Stepanoff
図A4.1.12  軸動力-吐出量曲線   Centrifugal and Axial Flow Pump 2nd ed. Stepanoff
図A4.1.13 効率-吐出量曲線   Centrifugal and Axial Flow Pump 2nd ed. Stepanoff

 

ORG:2020/05/26