4.流動特性

4.流動特性(flow characteristics)

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4.1 撹拌装置の流動特性に関係する無次元数

図10.1.4.1 撹拌装置の例   機械工学便覧 6th ed

 

1. 撹拌レイノルズ(Reynolds)数[\( Re \)]

流体の流れには、大きく分けて層流と乱流の2つの状態があります。もう少し詳しく言えば遷移流といわれる層流と乱流との中間的な状態があります。これらの流れの状態をあらわすために、レイノルズ数と呼ばれる無次元数により数値的に状態をあらわすことができます。

レイノルズ数は、慣性力(流体が流れようとする力)と粘性力(流れを押しとどめようとする力)との比で定義されます。

撹拌装置に適用する場合は、代表寸法を撹拌翼の直径\( d \)として、撹拌レイノルズ数は次式のように定義されます。

\( Re = \displaystyle\frac{ d ( nd ) \rho }{ \mu } = \displaystyle\frac{ n d^2 \rho } { \mu } \)

 

ここで、
\( d \):撹拌翼直径(m)
\( n \):回転数(sec-1
\( \rho \):流体密度(kg/m3
\( \mu \):粘性係数(Pa・s)

 

2. 撹拌フルード(Froude)数[\( Fr \)]

フルード数は、慣性力(流体が流れようとする力)と重力との比で、次式で定義されます。

\( Fr = \displaystyle\frac{ ( nd )^2 }{ dg } = \displaystyle\frac{ n^2 d } { g } \)

ここで、
\( g \):重力加速度(9.80665m・s-2

撹拌槽の液面に発生する渦のように重力の影響を考慮する場合に考慮する必要があります。撹拌槽にバッフルが設けられている場合には、フルード数の影響は小さいと考えられます。

 

3. 動力数[\( N_{ p } \)]

動力数は、撹拌機の所要動力を無次元化したものです。撹拌機が持つ固有値的なもので、撹拌翼および、バッフルの大きさや形状、液量が同じであれば動力数はほぼ一定値を取ります。

\( N_{ p } = \displaystyle\frac{ P }{ \rho n^3 d^5 } \)

ここで、
\( P \):動力(W)
\( \rho \):密度(kg/m3
\( n \):回転数(s-1
\( d \):回転翼直径(m)

 

4. プラントル(Prandtl)数 [\( Pr \)]

プラントル数は、速度境界層の厚み(流れの速度がゼロになる槽の内壁から、安定した槽内流速になるまでの半径方向の距離)と温度境界層の厚み(槽の内壁表面の温度から、安定した槽内温度になるまでの半径方向の距離)との比で定義される無次元数です。具体的には、動粘性係数と温度拡散率との比になります。

\( Pr = \displaystyle\frac{ \nu }{ \left( \displaystyle\frac{ k }{ \rho \cdot C_{ p }} \right) } = \displaystyle\frac{ C_{ p } \cdot \mu } { k } \)

Pr=ν/(k/(ρ・Cp)) = (Cp・μ)/k

ここで、
\( \nu \):動粘性係数(m2/s)
\( \mu \):粘性係数(Pa・s)
\( k \):熱伝導率(Js-1m-1K-1
\( \rho \):密度(kg/m3
\( C_{ p } \):定圧比熱(Jkg-1K-1

ちなみに、\( Pr \)数の値は、粘性係数が大きいほど大きくなります。例えば空気などの気体はおおよそ0.7、常温の水でおおよそ7、エンジンオイルでは100~40000の値になります。

5. 撹拌ヌッセルト(Nusselt)数[\( Nu \)]

ヌッセルト数は、回転翼による強制対流による電熱量と、取扱い流体の熱伝導による電熱量との比で定義される無次元数です。

\( Nu = \displaystyle\frac{ h_{ i } \cdot D }{ k } \)

ここで、
\( h_{ i } \):境膜伝熱係数(W/(m2・K))
\( D \):撹拌槽内径(m)
\( k \):熱伝導率(Js-1m-1K-1

一般に撹拌装置では、\( Nu \)数は、\( Re \)数と\( Pr \)数との関数であらわされます。 

\( Nu = C Re^{ a } Pr^{ b } \displaystyle \left( \frac{ \mu }{ \mu_{ w }} \right)^{ c } \) 

ここで、
\( a,b,c \):係数
\( \mu \):槽内流体の粘性係数(Pa・s)
\( \mu_{ w } \):撹拌槽壁面近傍での流体の粘性係数(Pa・s)

 

4.2 層流と乱流

撹拌槽内の流体の挙動は\( Re \)数であらわすことができます。

\( Re \)数が小さい場合は、撹拌槽内の流れは層流状態にあり、\( Re \)数が大きい場合は乱流状態にあります。

一般的には、

\( Re \lt 50 \) の場合は層流域、\( 1000 \lt Re \)の場合は乱流域であるといえます。表10.1.4.1 をご参照ください。

 

表19.4.1.2 レイノルズ数と流れ   ORG

 

4.3 旋回流速度分布と固体的回転半径

邪魔板無しの円筒撹拌槽内の旋回流の速度\( u_{ t } \)ut(m/s)は、乱流条件下では次式で示されます(図10.1.4.3)。

\( u_{ t } = 2 \pi n r       ( 0 \leq r \leq r_{ c } ) \)     

\( u_{ t } = 2 \pi n r_{ c } ( r_{ c } / r )^m      ( r_{ c } \leq r \leq D/2 ) \)   

 

ここで、\( r_{ c } \)(m)は固体的回転半径と呼ばれ、撹拌槽の中心からの距離\( r \)が \( r \leq r_{ c } \) では、旋回流の角速度は撹拌翼の回転角速度と同じになります。 \( r_{ c } \leq r \) では \( m=0.8 \) と近似されることが多いです。
固体的回転半径\( r_{ c } \)は、撹拌翼の寸法や\( Re \)数により変化します。

図10.1.4.3 旋回流速度分布と液面変位   化学工学改訂第3版

 

\( r_{ c } \)(m)の推算式として、永田先生によるものを示します。

\( \displaystyle\frac{ 2 r_{ c }}{ d } = 1.23 \{ 0.57 + 0.35 ( d / D ) \} \times (b / D )^{ 0.036 } n_{ p }^{ 0.116 } Re / ( 10^3 + 1.43 Re ) \) 

ここで、
\( d \):撹拌翼直径(m)
\( D \):撹拌槽内径(m)
\( b \):撹拌翼幅(m)
\( n_{ p } \):撹拌翼枚数(-)
\( Re \):撹拌レイノルズ数(-)

\( Re \)数が小さいとき、固体的回転部分は消滅します。また、邪魔板付きの撹拌槽では乱流域でも固体的回転部分は非常に小さくなります。

 

4.4 中心部液面低下と槽壁部液面上昇

邪魔板の無い撹拌槽で、撹拌速度を大きくすると、中心部の自由液面が低下して、ガスの巻き込みを起こしたり、槽壁部で液面上昇により液が撹拌槽外にオーバフローすることがあります。

静止液面からの、

中心部液面低下量\( \Delta H_{ 1 } \)(m)と槽壁部液面上昇量\( \Delta H_{ 2 } \)(m)は、近似的に次式で表されます。

\( \Delta H_{ 1 } = \pi^2 d \cdot Fr \cdot \displaystyle \left(\frac{ 2 r_{ c }}{ d } \right)^{ 2 } \left[ 1- \left( \frac{ 2 r_{ c }}{ D } \right)^{ 2 } \left\{ \ln \left( \frac{ D }{ 2 r_{ c }} \right) + \frac{ 3 }{ 4 } \right\} \right] \)

\( \Delta H_{ 2 } = \pi^2 d \cdot Fr \cdot \displaystyle \left( \frac{ 2 r_{ c }}{ d } \right)^{ 2 } \left( \frac{ d }{ D } \right)^{ 2 } \left\{ \ln \left( \frac{ D }{ 2 r_{ c } } \right) + \frac{ 1 }{ 4 } \right\} \)

ここで、
\( Fr \):フルード数(-)
\( d \):撹拌翼直径(m)
\( D \):撹拌槽内径(m)
\( r_{ c } \):固体的回転半径(m)

これらの式より、液面の形状は\( Fr \)数が影響することがわかります。

 

4.5 循環流量と吐出流量

撹拌槽内の流体を均一に混合するためには、撹拌液を適度に循環させることが重要です。循環流量\( q_{ c } \)(m3/s)は、循環時間\( T_{ c } \)(s)と次のような関係があります。

\( q_{ c } = V / T_{ c } \)

ここで、
\( V \):撹拌槽内の液体の体積(m3

 

無次元数としての循環流量数\( N_{ qc } \) を次式で定義します。

\( N_{ qc } = q_{ c } / (n d^3 ) \)

ここで、
\( n \):回転数(s-1
\( d \):撹拌翼直径(m)

また、撹拌翼の外周から吐出される吐出流量\( q_{ d } \)(m3/s)は、循環流を引き起こすための流量として、撹拌装置の流動特性をあらわす要因として重要です。その無次元数である吐出流量数\( N_{ qd } \)を次式で定義します。

\( N_{ qd } = q_{ d } / ( n d^3 ) \)

乱流域では、吐出流量数\( N_{ qd } \)と循環流量数\( N_{ qc } \)との間には、おおよそ次式の関係が成り立ちます。

\( N_{ qc } = N_{ qd } \left[ 1 + 0.16 \{ (D/d)^2 – 1 \} \right] \)

また、動力数Npと吐出流量数Nqdとの間には、おおよそ次式の関係が成り立ちます。

\( N_{ qd } = 0.32(n_{ p }^{ 0.7 } b / d )^{ 0.25 } (D /d )^{ 0.36 } N_{ p }^{ 0.5 } \)

ここで、
\( D \):撹拌槽内径(m)
\( d \) :撹拌翼外径(m)
\( n_{ p } \):撹拌翼枚数(-)

 

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引用文献
化学工学_改定第3版   豊田豊  朝倉書店
住友重機械プロセス機器株式会社様HP  あなたの知らない撹拌の世界  https://www.shi-pe.shi.co.jp/technology/mixing-lecture/006/index.html 他

 

引用図表
図10.1.4.1 撹拌装置の基本構成   参考:機械工学便覧 6th ed. ɤ01-02章
表10.1.4.2 レイノルズ数と流れ   ORG
図10.1.4.3 旋回流速度分布と液面変位   化学工学改訂第3版

 

ORG:2021/06/14