ミラー指数

ミラー指数(Miller indices)

スポンサーリンク

 

ミラー指数は、結晶格子の面や方位を表すために使われている表記法です。ミラー指数には,面指数と方向指数(方位指数)の2種類があります。面指数は結晶や格子をどのような平面で切るかを指定し、方向指数は結晶、格子内での方向を指定します。

 

1. ミラーの面指数

結晶の各原子面(格子面:原子が並んでいる面)や、方向の違いにより性質が異なる場合があります。例えば、鉄(Fe)の磁化する強さは、特定の原子面方向が他の面に比べて、非常に磁化されやすい性質があります(図1)。また、金属が変形する際に、原子が滑りやすい面や、滑りやすい方向があるので、結晶体の面や方向が重要になります。

図1 鉄の各結晶軸方向での磁化曲線

このように、結晶体の面を表示するために、図2に示すように直角座標軸X,Y,Zをとります。この3軸と交差する面ABCを考えます。それぞれの軸の単位長さをa,b,cとします。この面ABCはそれぞれX,Y,Z軸に、

     (式1)

の長さで交わっています。α,β,γ は、正または負の整数になります。

図2 立方晶結晶面の表し方

ここで、α,β,γの逆数を、以下のように取ります。

一般に は簡単な整数比で表わすことができます。この を結晶面A B
Cのミラーの面指数、または単に面指数とよんでいます。結晶面ABCを、で示すことができます。

図2のX,Y,Z軸の負側で交わる場合は、ミラー指数の各数字の上に”-”” をつけて、

のように示します。

また、一つの軸に平行な面のミラー指数は、無限大の遠方でその軸と交わっていると考えて、その逆数の”0” で示されます。例えばY軸に平行な面はのように表します。

以上は、面心立方晶、体心立方晶のような立方晶の場合の表し方です。

次に、六方晶の場合を考えます。六方晶の場合は、互いに120°で交わる3つのa軸とその交点を通り3つの軸に垂直なc軸からなる座標軸で示します(図3)。立方晶の場合と同様な方法で、3つのa軸を、h,k,i、c軸をl で表して、 のように表します。

図3 六方晶結晶面の表し方

ここで、六方晶の場合は、3つのa軸の間には、次の関係があります。

   (式3)

これにより、I の値はhとk との値が決まれば決まってしまうので、iを省略した形、と記述される場合もあります。

 

2. 結晶格子の面の表し方

(1) 立方晶結晶の場合

図4 に、立方晶結晶の場合のミラー指数による面の表し方の例を示します。

図4 立方晶結晶の場合の面の表し方

(2) 六方晶結晶の場合

図5 に、六方晶結晶の場合のミラー指数による面の表し方の例を示します。

図5 六方晶結晶の場合の面の表し方

 

3. ミラーの面指数の特徴

一組の指数の順序を入れ換えたことより示される面は、結晶学的には等価な面です。

例えば、で表される6つの面は結晶学的には等価ですので、これら6つの等価な面、すべてを含んだものとして示す場合は、 、例えばこの例では、 と表します。特に1つの特定の結晶面を示す場合には、( )、例えば、と表します。

 

4. ミラーの方向指数

まず立方晶結晶の場合について考えます。結晶内の方向を示すために、図6のように結晶軸の原点を通り、その方向に平行な直線を考え、その直線状の任意の一点の座標により示します。
方向指数の場合は、面指数と異なり逆数は用いません。
特定の結晶方向を示す場合は、で表し、等価のすべての方向を含めて示す場合には、 で表します。

図6 ミラーの方向指数の表し方

六方晶結晶の場合についても、面の表し方と同様に、4つの指数を用いて、のように表します。

 

5. ミラーの面指数と方向指数との関係

立方晶結晶の場合は、面指数(逆数)と方向指数との定義から、同じ指数で表される面と方向とは互いに直交します。例えば、面と方向とは垂直に交わります。

一方、六方晶結晶の場合は、同じ指数で表される面と方向とが垂直に交わることは、特別な場合ではあるが、一般には成立しません。

 

 

参考文献
若い技術者のための機械・金属材料  矢島悦次郎 他  丸善
Modern Physical Metallurgy and Materials Engineering   R.E.Smallman et al.
         Butterworth-Heinemann

引用図表
[図1] 鉄の各結晶軸方向での磁化曲線   若い技術者のための機械・金属材料
[図2] 立方晶結晶面の表し方   若い技術者のための機械・金属材料
[図3] 六方晶結晶面の表し方  若い技術者のための機械・金属材料
[図4] 立方晶結晶の場合の面の表し方   若い技術者のための機械・金属材料
[図5] 六方晶結晶の場合の面の表し方   若い技術者のための機械・金属材料+ Modern Physical Metallurgy and Materials Engineering
[図6] ミラーの方向指数の表し方     若い技術者のための機械・金属材料

 

ORG:2018/5/15