管路における管摩擦係数の実験式
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管路における管摩擦係数の実験式（Empirical formula for pipe friction coefficient in pipes）
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管摩擦係数の推定は、実用的にはコールブルックの式に基づくムーディ線図を用いれば問題無いといわれています。
これについては、既にコンテンツを挙げていますが、もう少し理論的な部分を含んだ、管摩擦係数についてのコンテンツを、新たに記述しようと思います。
少し古いデータに基づいています。
1. 流体摩擦について
粘性流体が固体表面に沿って流れる場合、固体表面に接する部分の流体は速度はゼロで、固体表面から離れるに従って流体速度が増加します。このように、粘性流体が流路中を流れる場合や、逆に粘性流体中を固体が運動する場合には、固体表面と流体との間には、流体の粘性に基づくせん断力が作用します。この現象を流体摩擦といいます。
流体摩擦は、固体と粘性流体との間ばかりでなく、粘性流体自身も、相対的な流速差による速度こう配がある個所では、接した流体間にもせん断力が作用します。粘性流体内に発生する流体摩擦を、特に内部摩擦ともいいます。
流体摩擦に基づくせん断応力の大きさは、流れが層流の場合、ニュートンの法則としてあらわされます。
\( \tau = \mu \displaystyle\frac{ du }{ dy } \)
ここで、
\( \tau \)：せん断応力
\( \mu \)：流体の粘性係数
\( \displaystyle\frac{ du }{ dy } \)：流れと直角方向の速度こう配
流れが乱流の場合のせん断応力は、
\( \tau = \mu \displaystyle\frac{ du }{ dy } + ( – \rho \overline{ u’v’ } ) \)
ここで
\( \rho \)：流体の密度
\( ( – \rho \overline{ u’v’ } ) \)：レイノルズ応力
\( u’,v’ \)：それぞれx方向、y方向の流れの速度変動
ここで、流体分子の平均自由行路にに相当する長さを混合距離\( l \)とすると、\( \vert u’ \vert = l \vert du/dy \vert 、\vert v’ \vert = \vert u’ \vert \) と置くと、
\( – \rho \overline{ u’v’ } =\rho l^2 \left| \displaystyle\frac{ du }{ dy } \right| \displaystyle\frac{ du }{ dy } \)
この\( l \)は、場所および流れの種類によりその大きさは異なります。
固体表面では、\( l \)はゼロになりレイノルズ応力もゼロになります。しかし、流れが乱流状態でも、固体表面には極めて厚さの薄い層流底層（粘性底層)が存在します。ここでは、速度こう配は非常に大きくなり、大きな抵抗力を与えると考えられます。
固体表面に境界層が生じる場合の流体摩擦抵抗は、境界層の中の流れおよび壁表面の状態により決まります。
2. 管の摩擦
2.1 ダルシー・ワイスバッハの式（Darcy–Weisbach Equation）
ラッパ状の入口を有する円管の管路のの入口部では、流れは断面全部にわたり、一様な速度分布を持ち管壁部の極近傍に薄い境界層が存在するだけです。流れが管路を進に従って境界層の厚さが増大して、ある距離\( L \)では境界層が管路の中心に到達し、その後は管断面の速度分布、流体摩擦に基づく圧力低下率、および管路断面を有する粘性流体の有する運動エネルギーは一定になります。
\( L \)は入口長さと言われ、層流・乱流の場合について、理論的・実験的に求められています。
層流の場合：\( L = 0.065 Re d \) … ブジネの理論、ニクラゼの実験
乱流の場合：\( L = ( 25 ～ 40 )d \) … ニクラゼの実験
\( L= 20 d \) … ラッコの理論
真直な円管について、入口長さ以降の流速分布が変化しない流れについて、摩擦損失圧力は通常ダルシー・ワイスバッハの式で表されます。
\( h = \displaystyle\frac{ p_{ 1 } – p_{ 2 } }{ \gamma } = \lambda \displaystyle\frac{ l }{ d } \displaystyle\frac{ v^2 }{ 2 g } \) （１）
ここで、
\( d \)：内径
\( l \)：長さ
\( v \)：平均流速
\( p_{ 1 } – p_{ 2 } \)：摩擦損失圧力
\( \lambda \)：管摩擦係数 … レイノルズ数\( Re = vd/ \nu \) および管壁の粗度 \( \epsilon / d \)の関数
\( Re \) が大きく、\( \epsilon / d \) も大きな場合は、\( \epsilon / d \) のみの関数になります。
2.2滑らかな円管
（１）層流の場合
摩擦損失水頭を\( h \)とすると、
\( h = \displaystyle\frac{ p_{ 1 } – p_{ 2 } }{ \gamma } = \displaystyle\frac{ 128 \mu l }{ \pi \gamma d^4 } Q = \displaystyle\frac{ 32 \mu l }{ \gamma d^2 } v \) （２）
ここで、
\( Q \)：流量
\( d \)：管直径
\( v \)：平均流速
\(mu \)：粘性係数
式（２）を、ハーゲン・ポアズイユの法則といいます。
式（１）と式（２）より、管摩擦係数\( \lambda \)は
\( \lambda = 64/Re ( Re = v d / \nu ) \)
となります。これは層流の場合に成立する理論から導かれたものです。
また、\( U \)を半径\( a \)の円管路の管中央の最大流速、\( u \)を半径\( r \)の位置での流速とすると、層流の場合の流速分布は、次式で表され、最大流速\( U \)は平均流速の2倍になります。
\( u = U \{ 1 – ( r / a )^2 \} ，U = 2 v \)
（２）乱流の場合
滑らかな円管で流れが乱流の場合の管摩擦係数\( \lambda \)についての、代表的な実験式と理論式を表1に示します。
滑らかな円管の乱流における平均流速\( v \)と最大流速\( U \)との比は実験的には、次式で表されます。
\( v / U = 0.656 Re^{ 0.02 } \)
表1 滑らかな円管の乱流の場合の管摩擦係数の実験式と理論式 機械工学便覧 改訂第5版
2.3粗い管壁を有する円管
粗い管壁を有する管の摩擦抵抗は、理論的の実験的にも困難な問題です。
流れが層流の場合、管壁が粗面であっても管摩擦係数は、滑らかな面とほとんど変わりません。
流れが乱流の場合は、ホップおよびフロンムによると、粗面の状態が管摩擦係数\( \lambda \)に及ぼす影響は2種類に分類されます。
一つ目は、図2(a)のような不規則な粗面を有する場合、管摩擦係数\( \lambda \)はレイノルズ数\( Re \)の大きな範囲では、\( Re \)に無関係な一定値になります。フロンムの実験によると間摩擦係数\( \lambda \)は、次式で表されます。
\( \lambda = 0.01 ( k’ / d )^{ 0.314 } \)
ここで、\( k’ \) の値は表3に示す値になります。
二つ目は、図2(b)のように粗面の形状が波状のゆるい凹凸を有する場合で、フロンムおよびバザンの実験によると、\( \lambda \)は管の大きさに無関係で、断面の幾何学的形状と\(Re \)、および管壁の状態のみに関係し、\( \lambda = \xi \lambda_{ o } \) との形にあらわすことができます。\( \lambda_{ o } \) は、滑らかな管の管摩擦係数になり、\( \xi \)は管壁の状態による係数です。例えば、アスファルト塗鉄管の場合 \( \xi = 1.2 ～ 1.5 \) 、木管の場合 \( \xi = 1.5 ～ 2.0 \) になります。
図2 管壁の粗面状態 機械工学便覧 改訂第5版
表3不規則な面粗さの管壁面の場合の管摩擦係数を得るための係数 機械工学便覧 改訂第5版
2.4 管摩擦係数の実用式
常温の水に対する、金属管および非金属管の実用管の管摩擦係数に対する実用式を、表4 に示します。
表4常温水の実用管に対する管摩擦係数の実用式 機械工学便覧 改訂第5版
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参考文献
機械工学便覧 改訂第5版 8.水力学及び流体力学
引用図表
表1 滑らかな円管の乱流の場合の管摩擦係数の実験式と理論式 機械工学便覧 改訂第5版
図2 管壁の粗面状態 機械工学便覧 改訂第5版
表3 不規則な面粗さの管壁面の場合の管摩擦係数を得るための係数 機械工学便覧 改訂第5版
表4 常温水の実用管に対する管摩擦係数の実用式 機械工学便覧 改訂第5版
ORG：2023/11/26